Question

第20届全国希望杯高一数学邀请赛第二试（第1类）中的2道题

1.已知f(x)=x^3-2x-3，f(g(x))=4x^4+4x^3-7x^2-4x则g(x)的各项系数（包括常数项）的和等于 。
2.若(2x+1)^(1/2)+(3y-2)^(1/2)=4，则2x+3y的取值范围是 。（要求有详细的解答过程）

Answer 1

1 设g(x)各项系数和为t，显然t=g(1)
f(t)=f(g(1))=t^3-2t-3=4+4-7-4=-3
t^3-2t=0,t=0或者t=+-根号2

2 2x+3y=2x+1+3y-2+1
设，u=（2x+1)^(1/2),v=(3y-2)^(1/2)
4>=u>=0,4>=v>=0,u+v=4
原式=u^2+v^2+1=u^2+(4-u)^2+1=2(u-2)^2+9
2>=u-2>=-2，4>=（u-2)^2>=0
17>=原式>=9,即 17>=2x+y>=9

Answer 2

用导函数解决
过程太过复杂，这里难以说清

Answer 3

g(x)的各项系数和等于g(1)
而
f(g(1))=4+4-7-4=-3
而令f(s)=-3
即s^3-2s-3=-3
得到s(s^2-2)=0
即g(1)=0或g(1)=±√2
2.由柯西不等式或赫尔德不等式推广的权方和不等式
(全国水平至少应该知道柯西不等式)
有
2x+3y=(2x+1)+(3y-2)+1
=(2x+1)/1+(3y-2)/1+1
≥[(√(2x+1)+√(3y-2))^2/(1+1)]+1
=9
而究其上限，3y-2≤16
或2x+1≤16
得到2x+3y≤17
∴2x+3y∈[9,17]