Question

这个极限怎么求？

想问问cos那里怎么处理

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Answer 1

解这是未定式0^0型. 设y=x^sinx,取对数得，lny=sinx lnx， 所以 lny=（lnx）/（1/sinx），因为 当x→0时，sinx～x ，所以 当x→0时，limlny=lim[(lnx)/(1/sinx)] =lim[(lnx)/(1/x)] 根据洛必达法则，limlny=lim[(lnx)/(1/x)] =lim[(1/x)/(-1/x^2)]=lim(-x)=0 (当x→0时). 因为 y=e^lny,而lim y=lim e^lny=e^lim lny(当x→0时), 所以 lim x^sinx=lim y=e^0=1.

Answer 2

x->0
sinx ~ x -(1/6)x^3
3x^2 - 3x.sinx
~-(1/2)x^4
lim(x->0) ( 3x^2 - 3xsinx ) / [ x^2 + xcos(1/x) ]
=0

追问

这是用泰勒公式得出分子更高阶就可以直接写答案了吗？谢谢
另外想问一下，答案是把分子分母同时除以x的平方，然后直接得出结果是0的，这种做法分母的cos（1/x）应该怎么处理呢？

追答

lim(x->0) cos(1/x)/x ->∞
lim(x->0) ( 3x^2 - 3xsinx ) / [ x^2 + xcos(1/x) ]
=lim(x->0) ( 3 - 3sinx/x ) / [ 1 + cos(1/x)/x ]
=lim(x->0) ( 3 - 3sinx/x ). lim(x->0) 1/ [ 1 + cos(1/x)/x ]
=0(0)
=0