Question

求方程2yy''=y'^2+y^2满足条件y(0)=1,y'(0)=-1的特解

解中，那一句“显然u=1,u=-1均为原方程的解，”是怎么来的？

Answer 1

设y'=p(y),则y''=dp/dy*p,

方程2yy''=y'^2+y^2化为2pyp'=p^2+y^2,①

由2pyp'=p^2得2p'/p=dy/y,

2lnp=lny+lnc,

p^2=cy,p=土√(cy),

设p=土√[yc(y)],则p'=土[c(y)+yc'(y)]/{2√[yc(y)]},

代入①，y[c(y)+yc'(y)]=yc(y)+y^2,

所以c'(y)=1,

c(y)=y+c,

所以y'=土√(y^2+cy),y'(1)=-1,

所以-1=-√(1+c),c=0.

所以y'=-y

所以,y=e^(-x)+c1,

y(0)=1,所以c1=0,

所以y=e^(-x).

扩展资料：

偏微分方程

常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程 [2]  。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。

一般的n阶常微分方程具有形式：

其中  是  的已知函数，并且必含有  。

偏微分方程（PDE）是指微分方程的自变量有两个或以上 [2]  ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程。

但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。

最常见的二阶椭圆方程为调和方程：  。

线性及非线性

常微分方程及偏微分方程都可以分为线性微分方程及非线性微分方程二类。

若  是 的一次有理式，则称方程  为n阶线性方程，否则即为非线性微分方程。

一般的，n阶线性方程具有形式：

其中，  均为x的已知函数。

若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。

为n阶线性方程，否则即为非线性微分方程。

参考资料：百度百科——微分方程

Answer 2

你那个图，“显然”两字之前的式子怎么来的应该没问题吧，我们称那个式子为(*)好了。只不过在那之后，严格上要分成u^2=1和u^2≠1两种情况来讨论，而前者带入(*)式，直接得到0=0，说明u^2=1可以视为(*)的特解，然后将u^2=1变成u=正负1，即p/y=正负1，即y'=正负y，然后解它就行了；后者则化为变量可分离的类型，然后就能得到一个解，只不过这个解没有满足y(0)=1和y'(0)=-1的情况（因为已经限定u^2≠1了，不然在x=0处就有u^2=1），所以不可能得到满足题目的解。
然后这个书直接跳了一大步，说“显然。。。”，让我等数学渣渣很难受很难受......

Answer 3

这题就算不用把u看成常数也可以比较快的解出来，到最后有一步得出结果是:
p = ±根号y^2 +C1y
然后由题目的y(0) = 1, y`(0)= -1显然得出了C1= 0，并且根号前面符号取-，然后
p = -y
积分可得y = C2*e^(-x) ，C2要满足y(0)=1，所以C2=1

Answer 4

看到上面几位的回答，稍微有点头绪，这里说显然，应该是指当U为常数函数时的一种特解情况，比较容易看出来。若u为常数，则du/dy必定为0，等式左边=0，为使等式成立，则右侧1-u^2也等于0，所以得出u=+-1。 被这题折腾2天了，总算清醒一点了…

Answer 5

就是u是常数函数，导数是0，这个常数也让右边u²－1＝0，所以就是±1

追问

为什么u是常值函数？

追答

做微分方程经常考虑常数函数

你往里面代入就很容易发现解

常数函数简单所以考虑