Question

求解一道二重积分的详细解释

求详细写一下每一步的积分过程，谢谢！

Answer 1

∫[1-√(x^2+y^2)-x]dx = ∫(1-x)dx - ∫√(x^2+y^2)dx,
后者代公式 ∫√(x^2+a^2)dx = (x/2)√(x^2+a^2) + (a^2/2)ln[x+√(x^2+a^2)]
= x - (1/2)x^2 - (x/2)√(x^2+y^2) - (y^2/2)ln[x+√(x^2+y^2)]
代上下限
[x - (1/2)x^2 - (x/2)√(x^2+y^2) - (y^2/2)ln{x+√(x^2+y^2)}]<0, (1-y^2)/2]
= (1-y^2)/2 - (1/8)(1-y^2)^2 - [(1-y^2)/4](1+y^2)/2 - (y^2/2)ln1 + (y^2/2)lny
= (1-y^2)/2 - (1/8)(1-y^2)^2 - (1-y^4)/8 + (y^2/2)lny
= (1-y^2)/2 - (1-y^2)/4 + (y^2/2) lny
= (1-y^2)/4 + (y^2/2)lny
2倍后，再对 y 积分得
y/2 - y^3/6 + (y^3/3)lny - y^3/9
再代 y 的上下限得 2/9

追问

∫√(x^2+a^2)dx = (x/2)√(x^2+a^2) + (a^2/2)ln[x+√(x^2+a^2)]
你好，我是准备考研的学生。。。我想问一下上面这个公式不是大学教材给出的积分表才有吗？这个公式也需要记忆？可是如果不用公式感觉写起来巨麻烦诶。。这是一本考研辅导书上的题目，搞得我头痛。。。

∫√(x^2+a^2)dx = (x/2)√(x^2+a^2) + (a^2/2)ln[x+√(x^2+a^2)]
你好，我是准备考研的学生。。。我想问一下上面这个公式不是大学教材给出的积分表才有吗？这个公式也需要记忆？可是如果不用公式感觉写起来巨麻烦诶。。这是一本考研辅导书上的题目，搞得我头痛。。。