Question

已知A，B，C属于0到1开区间，求证：（1-A)B，（1-B）C，（1-C）不能同时大于0.25

Answer 1

用反证法来证明：
假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于1/4，
由于a，b，c∈(0，1)，
所以
√[(1-a)b]>1/2，
√[(1-b)c]>1/2，
√[(1-c)a]>1/2，
即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①
又因为
√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2，·············②
√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2，
√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2，
所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2，
这与①式：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾。
所以假设不成立，
故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一个不大于1/4。

注：本题用到了以下的基本不等式：
由于(√a-√b)^2≥0，展开得：a+b≥2√ab，即：√ab≤(a+b)/2。
②式利用了该基本不等式。
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/21907852.html