Question

怎么利用极值判断三次函数有几个实根？

怎么利用极值判断三次函数有几个实根？f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,在a>0时，和a<0时两种情况哦。

Answer 1

• f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

  f'(x)=3ax²+2bx+c

  Δ=4b²-12ac≤0时→b²≤3ac时 f'(x)≥0(a>0) f'(x)≤0(a<0)→f(x)为单调函数→

  三次函数有且仅有一个零点（三次方程有且仅有一个实根）。

  b²≥3ac时 极值点x₁=[-b-√(b²-3ac)]/3a 极值点x₂=[-b+√(b²-3ac)]/3a]

  f(x₁)·f(x₂)<0时，三次函数有三个零点；

  f(x₁)·f(x₂)=0时，三次函数有二个零点；

  f(x₁)·f(x₂)>0时，三次函数有一个零点。