Question

高数定积分、微分问题

Answer 1

局部收敛性有如下定理
设已知 f(x) = 0 有根 a, f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续).
若 f'(a) != 0(单重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a, 且收敛速度至少是二阶的.
若 f'(a) == 0(多重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 收敛速度是一阶的.
记 g(x)=x-f(x)/f'(x), 其中"某个邻域"可由 |g'(x)|<1 的区间确定, 但是 g'(a)==0, 所以这样的邻域总是能取到的.
说收敛速度是 r 阶指的是: 存在 r 及常数 c 使 lim_{n->\inf} |x[n+1]-a|/|x[n]-a|^r = c
至于牛顿迭代法的全局收敛性, 一般的数值分析书都没有详细叙述, 而只是举一些例子.
因为牛迭是否收敛依赖于函数是否"单调", 一些"曲折"大的函数就可能使迭代法不收敛了.
经常举的例子是三次函数, 比如 x^3 - x == 0. 有 -1,0,1 三个根.
迭代的时候如果取初值 x[1] = sqrt(0.2) = 0.4472.., 则得到 x[2] = sqrt(0.2), x[3] = sqrt(0.2) ... 收敛到 sqrt(0.2), 而这不是原方程根.
另外也可能不收敛, 或者不是收敛到离初值最近的根. 当然, 对于三次函数, 除了个别点, 牛迭总是收敛到某个根的, 因为初值远离原点时由于函数的单调性, 总会被拉回"局部".
事实上在复平面上三次函数的根的牛迭收敛行为是个著名的分形...足见全局收敛性的复杂.

Answer 2

=∫(sinx)^4cos²xdsinx
=∫(sinx)^4-(sinx)^6dsinx
=(sinx)^5/5-(sinx)^7/7
=1/5-1/7
=2/35

追答

先算线性通解得y=C/x，
再由C'(x)/x=2cosx/x得C(x)=2sinx+C，
得通解y=(2sinx+C)/x

Answer 3

给题

追问