Question

若同为n阶的A，B两个矩阵等价，它们的行列式相等吗？

Answer 1

n阶的两个等价矩阵A,B
它们的行列式差一个非零的常数倍, 不一定相等.

由A,B等价, 存在可逆矩阵P,Q满足 PAQ=B
两边取行列式得 |P||A||Q|=|B|
令 k=|P||Q|, 则k≠0, 且 |B|=k|A|.

Answer 2

~这个符号有的书上是等价，有的是相似。等价不相等，相似相等

Answer 3

存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价，充要条件就是R(A)=R(B) 。
从定义可以看出，矩阵等价仅仅是有相同的秩。如果可逆矩阵P、Q行列式乘积不为1，那么结论显然不对

Answer 4

首先明确矩阵等价的定义：
在线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。若存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价，即A经过初等变换可得到B。
再来明确矩阵等价的性质：
矩阵A和A等价(反身性）；
矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；
矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）;
矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)
那么，A,B矩阵等价，那么A,B的矩阵行列式相等吗？
不用举例都可以明白，如果A经过初等变换可以得到B，那么这两个矩阵的矩阵行列式就不一定会相等。因为这个只能说明两个矩阵的秩是相等的，而并没有涉及到值，所以这里不一定相等