Question

f(x)是以2派为周期的二阶可微函数，且f(x)+f'(x+派)=sinx，求f(x)

f(x)是以2派为周期的二阶可微函数，且f(x)+f'(x+派)=sinx，求f(x)答案左边的两个等式是怎么来的？

Answer 1

f(x)=(1/2)(sinx+cosx)

f(x)+f'(x+π)=sinx①

求导得f'(x)+f''(x+π)=cosx

以x+π代x,得f'(x+π)+f''(x+2π)=cos(x+π)

2π是f(x)的周期

∴f'(x+π)+f''(x)=-cosx,②

②-①，得f''(x)-f(x)=-sinx-cosx

y=c1e^x+c2e^(-x)是y''-y=0的通解

y=(1/2)(sinx+cosx)是y''-y=-sinx-cosx的特解

∴f(x)=c1e^x+c2e^(-x)+(1/2)(sinx+cosx)

因为f(x)以2π为周期

所以f(x+2π)=f(x)

于是c1e^x*[e^(2π)-1]+c2e^(-x)*[e^(-2π)-1]=0恒成立

所以c1=c2=0

f(x)=(1/2)(sinx+cosx)

可微性

魏尔斯特拉斯函数连续，但在任一点都不可微。若ƒ在X0点可微，则ƒ在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。

实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数。

Answer 2

f(x)+f'(x+π)=sinx,①
求导得f'(x)+f''(x+π)=cosx,
以x+π代x,得f'(x+π)+f''(x+2π)=cos(x+π),
2π是f(x)的周期，
∴f'(x+π)+f''(x)=-cosx,②
②-①，得f''(x)-f(x)=-sinx-cosx,
y=c1e^x+c2e^(-x)是y''-y=0的通解，
y=(1/2)(sinx+cosx)是y''-y=-sinx-cosx的特解，
∴f(x)=c1e^x+c2e^(-x)+(1/2)(sinx+cosx).
因为f(x)以2π为周期，
所以f(x+2π)=f(x),
于是c1e^x*[e^(2π)-1]+c2e^(-x)*[e^(-2π)-1]=0恒成立，
所以c1=c2=0,
f(x)=(1/2)(sinx+cosx).
谢谢指正。

Answer 3

第一个式子求导后加拍π

Answer 4

为什么以2派为周期，C1e^x+C2e^x等于0?求解答