如图，求解，积分问题
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分享一种解法，利用留数定理求解。设t=tanx，原式=∫(0,∞)t²dt/[2(t^4)+2t²+1]=(1/2)∫(-∞,∞)t²dt/[2(t^4)+2t²+1]。分子的最大幂指数m=2、分母的最大幂指数n=4，n-m=2，满足留数定理应用条件。
设f(z)=z²/[2(z^4)+2z²+1]。【计算过程中，设a=2^(-1/4)】令2(z^4)+2z²+1=0，易得f(z)在上半平面Imz>0内只有一阶极点z0=ae^(πi/8)和z1=ae^(7πi/8)。
∴原式=(πi){Res[f(z),z0]+Res[f(z),z1]}。而，Res[f(z),z1]+Res[f(z),z0]=(1/4)[z0/(2+i)+z1/(2-i)]=(ia/10)[2sin(π/8)-cos(π/8)]。
∴原式=(π/10)[cos(π/8)-2sin(π/8)]2^(-1/4)。
供参考。
设f(z)=z²/[2(z^4)+2z²+1]。【计算过程中，设a=2^(-1/4)】令2(z^4)+2z²+1=0，易得f(z)在上半平面Imz>0内只有一阶极点z0=ae^(πi/8)和z1=ae^(7πi/8)。
∴原式=(πi){Res[f(z),z0]+Res[f(z),z1]}。而，Res[f(z),z1]+Res[f(z),z0]=(1/4)[z0/(2+i)+z1/(2-i)]=(ia/10)[2sin(π/8)-cos(π/8)]。
∴原式=(π/10)[cos(π/8)-2sin(π/8)]2^(-1/4)。
供参考。
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追问
你第一步怎么化简的能详细点么
追答
被积函数的分子分母同除以(cos)^4，利用sec²x=tan²x+1、d(tanx)=sec²xdx，即可。
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-07-25 广告
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