这个定积分怎么证明 30
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希望写的比较清楚，望有所帮助
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区间再现公式
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x^n·sinx<x^n·x=x^(n+1)
∫(-a,a)x^n·sinxdx
=2∫(0,a)x^n·sinxdx
<2∫(-0,a)x^(n+1)dx
=2[x^(n+2)/(n+2)]|(0,a)
<2[x^(n+2)/(n+2)]|(0,1)
=2/(n+2)
上式当n→∞时趋向于0
根据夹逼定理易知原式成立。
∫(-a,a)x^n·sinxdx
=2∫(0,a)x^n·sinxdx
<2∫(-0,a)x^(n+1)dx
=2[x^(n+2)/(n+2)]|(0,a)
<2[x^(n+2)/(n+2)]|(0,1)
=2/(n+2)
上式当n→∞时趋向于0
根据夹逼定理易知原式成立。
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设x=π-t,则dx=-dt,
且当x=0时,t=π；当x=π时,t=0.
所以：
∫(0~π)xf(sinx)dx
=-∫(π~0)(π-t)f[sin(π-t)]dt
=∫(0~π)(π-t)f(sint)dt
=π∫(0~π)f(sint)dt-∫tf(sint)dt
=π∫(0~π)xf(sinx)dx-∫(0~π)xf(sinx)dx.
所以：∫(0~π)xf(sinx)dx=π/2∫(0~π)f(sinx)dx
且当x=0时,t=π；当x=π时,t=0.
所以：
∫(0~π)xf(sinx)dx
=-∫(π~0)(π-t)f[sin(π-t)]dt
=∫(0~π)(π-t)f(sint)dt
=π∫(0~π)f(sint)dt-∫tf(sint)dt
=π∫(0~π)xf(sinx)dx-∫(0~π)xf(sinx)dx.
所以：∫(0~π)xf(sinx)dx=π/2∫(0~π)f(sinx)dx
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