Question

大学数学，求解

Answer 1

勒贝格积分
有界，不连续点可数，一定可积
证明困难
|f(x)|<M，对任意 ε>0
取δn=ε/(2M*2^n)
S=Σ(i=1，+∞)M*δn<=ε/2<ε
不连续点处的积分为0
证明的过程自己写

Answer 2

取充分小的ε>0,用长度为ε/2^n的开区间覆盖不连续点1/n,则这些开区间的长度和为
ε/2+ε/2^2+……+ε/2^n+……=ε,
即这些不连续点的测度为0，
所以f(x)是勒贝格可积函数。

Answer 3

间断点有无穷个，且间断点极限是一个确切的数，函数可积

Answer 4

不连续点是可列的，有界函数可积，刨去这些点，使用任何定理都可以做，比如开区间覆盖点1/n，开区间总长度为常数倍的ε。可参考华师大数学分析书

Answer 5

此处要说明不连续点是一个零测集，你只要说明不连续点和N*构成一一对应就可以啦(需要构造)，这块是解决本题的关键。