Question

求下列定积分

Answer 1

分享一种解法，用“换元”+“分部积分法”求解。
设x=at。∴原式=2a²∫(0,1)t(1-t)sin(nπt)dt=2a²∫(0,1)(t-t²)sin(nπt)dt。
而，∫(0,1)tsin(nπt)dt=[-(tcos(nπt)/(nπ)+sin(nπt)/(nπ)²]丨(t=0,1)=-[(-1)^n]/(nπ)。
∫(0, 1)t²sin(nπt)dt=[-t²cos(nπt)/(nπ)+2tsin(nπt)/(nπ)²+2cos(nπt)/(nπ)³] (t=0,1)=-[(-1)^n]/(nπ)+2[(-1)^n]/(nπ)³-2/(nπ)³。
∴原式=4a²[1-(-1)^n]/(nπ)³。故，当n=2k(k=0,1,2,……)为偶数时，原式=0；当n=2k+1为奇数时，原式=8a²/[(2n-1)π]³。
供参考。

Answer 2

要用分部积分法，不过过程超长。

1. 先将x(a-x) 拆分成两个积分。

2. 将sin函数=> dcos 类型，分部积分，在分部积分，。。。。。。

Answer 3

分解成三个函数，再把常数提出来就可以解了

Answer 4

Answer 5

dx=n-52