解数学不等式
已知函数y=f(x)的定义域为【-1,1】且f(x)在【-1,1】上为增函数。又f(1)=1(1)解不等式f(x+1/2)≤f(1/x-1);(2)若f(x)≤m&sup...
已知函数y=f(x)的定义域为【-1,1】且f(x)在【-1,1】上为增函数。又f(1)=1
(1)解不等式f(x+1/2)≤f(1/x-1);
(2) 若f(x)≤m²-2am+1对于所有x∈【-1,1】,a∈【-1,1】恒成立,求m的取值范围。 展开
(1)解不等式f(x+1/2)≤f(1/x-1);
(2) 若f(x)≤m²-2am+1对于所有x∈【-1,1】,a∈【-1,1】恒成立,求m的取值范围。 展开
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第一个(1)有误,可能是f((x+1)/2)≤f(1/x-1);
因为:
-1≤(x+1)/2≤1
-1≤1/x-1≤1
可得:1/2≤x≤1
如按原题只能到 x=1/2
解:
(1)解不等式f((x+1)/2)≤f(1/x-1);
因为函数y=f(x)的定义域为[-1,1],所以有
-1≤(x+1)/2≤1
-1≤1/x-1≤1
得到:1/2≤x≤1
又因为f(x)在[-1,1]上为增函数
所以有:
(x+1)/2≤1/x-1
由上述可知 x>0,上式有:
x^2+x≤2-2x
解得 x≥(-3+√17)/2
综上所述 (-3+√17)/2≤x≤1
(2)由于f(x)≤m²-2am+1在[-1,1]上始终成立,且f(x)为增函数
所以有
m²-2am+1≥f(1)=1
m(m-2a)≥0
①当a在 [-1,0] 时
m≥0,或 m≤2a
②当a在 [0,1] 时
m≥2a,或 m≤0
因为:
-1≤(x+1)/2≤1
-1≤1/x-1≤1
可得:1/2≤x≤1
如按原题只能到 x=1/2
解:
(1)解不等式f((x+1)/2)≤f(1/x-1);
因为函数y=f(x)的定义域为[-1,1],所以有
-1≤(x+1)/2≤1
-1≤1/x-1≤1
得到:1/2≤x≤1
又因为f(x)在[-1,1]上为增函数
所以有:
(x+1)/2≤1/x-1
由上述可知 x>0,上式有:
x^2+x≤2-2x
解得 x≥(-3+√17)/2
综上所述 (-3+√17)/2≤x≤1
(2)由于f(x)≤m²-2am+1在[-1,1]上始终成立,且f(x)为增函数
所以有
m²-2am+1≥f(1)=1
m(m-2a)≥0
①当a在 [-1,0] 时
m≥0,或 m≤2a
②当a在 [0,1] 时
m≥2a,或 m≤0
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