如果不以极限的思想考虑微积分，微积分到底是什么？
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果。极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问:"数学分析是一门什么学科?"那么可以概括地说:"数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科"。哲学的说我们只是能定义两者之间的一种 equivalence relation，这个 relation 满足自反、对称、传递以及 axiom of substitution （不知道这个怎么翻译），使得我们可以在很多时候不加区分地根据需要来进行替换。那个 0.9999999 乘以 10 来证等于 1 的其实是个错误的循环证明。真正的证明其实都是在说两者间能定义一个 equivalence relation 不破坏已有的实数域上的 operations。当然这又回到了 decimal system 和级数的收敛问题上了。数学规律不是客观存在的，不像物理化学一样，数学是一个人为创造的学科，所有数学体系都是由最基本的、无法也无需证明的公理出发，通过严密的逻辑推导得到一个又一个的结论。而微积分的逻辑推导必须有极限这个前置定义，非要抛开极限，求导的计算就不严密了，积分也只能变成近似。可以说，极限定义的引入，将微积分的计算从约等号划上等号。至于0.9999…和1，如果你认为它不等，问题来了，两者的差是多少？你会发现你写不出来，或者写出了一个无穷小量。无穷小量，好像又回到极限去了哦？这时候，最简单的做法就是，稍微修改一下中小学的“相等”的定义，把两个差为无穷小量的数定义为相等，这样的修改不会给原有体系（也就是中小学数学）带来任何矛盾，还顺带满足了0.3333…×3＝1的问题
微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。
在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚;对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解;对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种"零"与"非零"相互转化的辩证关系。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是:"一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量"，它接近于极限的正确定义;然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。
x=x0处的导数是函数在该点切线的斜率；区间[a,b]内的定积分是函数与横轴间面积的代数和。其中切线包括外切线和“内”切线，有向面在横轴上方的面积取正，在横轴下方取负。
但如果希望对微积分有更系统和严谨的认识，还是应该从极限的角度入手。毕竟微元法也是一种重要方式嘛。
顺带谈一下，严谨的极限定义，就是“E-N”定义。（前面的E，是epsilon，打不出来，凑合着看吧）也就是，所谓无穷小，即任取一个正数，都比这个正量大。所谓无穷大，即任取一个数，都比这个量小。
而那种想找出无穷小或无穷大“等于几”的，绝对是步入了误区。实数是稠密的，任意两个不相等的数中间，必有另一个实数。
