Question

高数定积分（0，π）根号下1-sin2x为什么用换元法算出来是错的？

Answer 1

思路应该是差不多的，我看你的过程好像是(0，pi/2)，互相对照一下吧，希望对你有所帮助

追问

答案是2根2-2，不过我想问的是换元积分法为什么算出来是0？

追答

你换元的过程是怎样的

我看到了

你的arcsin(1-t²)不是函数

Answer 2

比较晚看到这个问题，回答一下。
这道题换元法的话，要注意到这一点：定积分范围是0~π，你代换后x=（1/2）arcsin(1-t*t)
要知道反三角正弦函数值域是（-π/2，π/2）的
（1/2）arcsin的范围更小为一半就是（-π/4,π/4），你使用代换范围却是0~π了，超出范围了，也就是说（π3/4，π）的范围这个反函数根本不存在，x根本无法取到（π3/4，π）的值，也就别说对一个不存在的函数进行操作了
若把定积分上限调整到π/4应该就没有问题，可以试试用根式换元法和其他方法答案应该是一致的

Answer 3

∫(0~π/2) √(1 - sin2x) dx = ∫(0~π/2) √(sin²x - 2sinxcosx + cos²x) dx = ∫(0~π/2) √(sinx - cosx)² dx = ∫(0~π/2) |sinx - cosx| dx 解sinx - cosx = 0，x∈[0，π/2] 得tanx = 1 => x = π/4 当x < π/4，sinx - cosx < 0 当x > π