Question

这个不定积分题怎么做？

是怎么由倒数第二步得到倒数第一步的？我知道是把t与x的关系式代入。

Answer 1

将前面的代换全部带入原式
=∫1/t *2t/(t^2-1)dt
=∫2/(t^2-1)dt
分解因子：t^2-1=（t+1）(t-1)
使用待定系数法：假定
2/(t^2-1)=a/(t-1)+b/(t+1)
则 2=(a+b)t+a-b
则a+b=0,a-b=2
a=1,b=-1
所以原式=∫1/(t-1)dt-∫1/(t+1）dt
=ln|t-1|-ln|t+1|+C
=ln|(t-1)/(t+1)|+C
再反带入t=√(e^x+1）
=ln|(√(e^x+1）-1)/(√(e^x+1）+1)|+C
分母有理化：分子分母同时乘以|(√(e^x+1）-1
=ln|(√(e^x+1）-1)^2/e^x|+c
=ln(√(e^x+1）-1)^2-lne^x+C
=2ln|(√(e^x+1）-1)|-x+C

Answer 2