Question

为什么有无穷间断点的函数没有原函数？

像这样理解的错误在什么地方，求大神讲解

Answer 1

因为原函数存在定理为：若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。此条件为充分条件，而非必要条件。即若f（x）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

原函数存在与间断点的关系：

设F'（x）=f(x)，f（x）在x=x0处不连续，则x0必为第二类间断点（对于考研数学，只能是第二类振荡间断点），而非第一类间断点或第二类无穷间断点。

当f(x)存在第二类振荡间断点时，不能确定是否存在原函数，这种情况下结论与f(x)的表达式有关。

原函数存在的三个结论：

如果f(x)连续，则一定存在原函数。如果f(x)不连续，有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点，那么包含此间断点的区间内，一定不存在原函数。

如果f(x)不连续，有第二类振荡间断点，那么包含此间断点的区间内，原函数可能存在，也可能不存在。

Answer 2

你理解错了那句话.首先原函数是在定义区间上说的,因为x=0不是定义区间上的点,所以就算y=1/x在x=0处间断且是无穷间断点,但由于x>0和x<0时函数都连续,所以在这两个定义区间上都有原函数. 其次,如果补充定义说x=0时y=0,则y=1/x的定义域是R,x=0依然是无穷间断点,但此时在包含x=0的定义区间(如-1

追问

对于fx来说x=0时不是在定义区间内嘛