Question

哪位知道这个微分方程怎么解，只用告诉思路就行？

Answer 1

第二个方程，虽然写的是偏导数，但是看着其实是个常微分方程，可以直接解出来，这里X关于\ksi的变化是随意的。
然后带回第一个方程，这里对于C的含二次偏导数那项，看上去可以直接用自变量替换，令s=(\ksi)^3，这样那个二阶项直接变成C对s的二阶导数，然后这就是个非齐次的热方程，大概各种书上会有些拿基本解怎么怎么一弄就做出来的办法。
第三个方程看上去跟第一个方程类似，不过那个e和\theta是怎么回事？难道e是因变量而\theta倒不是？

Answer 2

方程两边同除以 u*v，可以得到：
(3 + v/u)*du + (u/v + 1)*dv = 0
令 s = u/v，则 u = s*v，du = v*ds + s*dv。上式可以化简为：
(3 + 1/s)*(v*ds + s*dv) + (s+1)dv = 0
(3+1/s)*v*ds + 3sdv + dv + (s+1)dv = 0
(3+1/s)*v*ds + (4s+2)dv = 0
(3+1/s)*v*ds = - (4s+2)*dv
(3+1/s)*ds/(2s+1) = -2dv/v
(3s+1)/[s(2s+1)] * ds = -2dv/v
[A/s + B/(2s+1)] * ds = -2dv/v
整理，得到 A = 1，B = 1。那么，上式就可以得到：
ds/(s) + ds/(2s+1) = -2dv/v
通过上式两边同时积分，就可以得到 s，再进一步就可以得到 u。这就是你所需要的思路。