Question

这道题，设A,B为n阶矩阵，求PQ证可逆

Answer 1

如下：

初等变换法：对(A,E)作初等变换，将A化为单位阵E，单位矩阵E就化为A^-1。

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

可逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

Answer 2

弄清楚分块对角矩阵的乘法和伴随矩阵的基本性质就很容易得到了。
PQ=|A||B|E，其中E的阶数与P的阶数相同。
第二问，利用
当矩阵A可逆时，A*也可逆就可以了。

Answer 3

可以利用矩阵行列式的运算，矩阵逆的运算及性质，得出解题过程如下图所示：

追问

第一问e是怎么出来的可以写一下么

追答

写错漏了，应为E2n阶单位阵。

AA^(–1)=En

追问

这里A|B||A|A^-1可以直接先运算AA^-1是为什么，位置不是不能随意换么，还有为什么是e的n次幂，直接E可以么

追答

A与A^(–1)互为逆阵，可以交换，这里En和E2n是指n阶和2n单位阵，不是幂。

伴随阵A*=|A|A^(-1)

追问

两个|AB|相乘结果也还是|AB|?

追答

|AB|=|A||B|，方阵AB乘积的行列式等于方阵AB行列式的乘积。

追问

最后一步是怎么由矩阵变成一个式子的😥麻烦了

追答

矩阵行列式不为零，则矩阵可逆或满秩。

Answer 4

如图所示，望采纳