Question

数学解方程组，可以发一下过程 y=x³-6x²+13x-9 （x-2）²+（y-1）²=5

Answer 1

注意，x=2的时候，y=x³-6x²+13x-9=1，
所以y-1=x³-6x²+13x-10可以提取因式（x-2），
y-1=(x-2)(x²-4x+5)=(x-2)[(x-2)²+1]，
令z=x-2，代入，得z²+[z（z²+1）]²=5,
再令u=z²，化简得：u+u(u+1)²=5,
再化简得u³+2u²+2u-5=0,
可以看出u=1为一个解，
所以分解因式得：(u-1)（u²+3u+5）=0,
其中u²+3u+5=(u+1.5)²+2.75>0,
所以u=1，z有两根1和-1，所以x有两根3和1，
对应的y为3和-1，
所以方程组有两组根(x=3,y=3),(x=1,y=-1)

追问

是不是所有的类似方程组都是这么解的？

追答

不是，这是特殊的方程，
一般的解法直接把y代入2式，那是一个一元6次方程，
6次方程有6个根，而且基本不能正常解，
只有特殊的方程才能解出，
本方程组的特殊性是因为可以分解出（x-2）这个因式，
还有一个因式是Δ>0的二次多项式
不然肯定不止两组解

追问

谢谢

Answer 2

第1个方程组
②÷①，得：x²+xy+y²=7
即(x-y)²+3xy=7
将①式代入，得：
xy=2
即x(-y)=-2
所以，x和-y是一元二次方程
t²-t-2=0
的两个根
解这个方程，得：t1=2, t2=-1
所以，原方程组可化为：
x=2，-y=-1
或
x=-1，-y=2
所以，原方程组的解为：
x=2，y=1
或：x=-1，y=-2
2）
当x大于或等于1时，方程组可化为：
x+y=5
x+y=3
两方程矛盾，所以，没有满足要求的解
当x<1时，方程组可化为：
y-x=3
x+y=3
解得：x=0,y=3
所以，该方程组的解为
x=0
y=3

追问

兄弟你解错了，x=1，y=-1或x=3，y=3