Question

关于复变函数唯一性定理

第十一题该怎么做呢，一点思路都没有，求解答，谢谢。

Answer 1

十一：
（1）在实轴上，lim f(z_n)不存在，而lim z_n=0，所以函数f在z=0点不连续，从而不解析，所以不存在这样的函数f。
（2）lim z_n=0，lim f(z_n)=0，所以满足连续性条件，并且必定有f(0)=0。接下来验证是否可导。如果可导，则必定有
f'(0)=lim （f(z_n)-f(0)）/（z_n-0），而实际上当n为偶数、奇数时，极限值是不同的，所以f'(0)不存在，进而f在z=0点不解析，所以不存在这样的f。
（3）lim f(z_n)=1，在f(0)=1时满足连续性条件。其实，令f(z)=1/(1+z)就满足题目的条件，此时的函数f在z=0处显然是解析的。