Question

高等数学问题，微分方程。基础问题。求解，谢谢解答，蓝笔写出来的

因为这个微分方程是二阶的，所以他的通解是要两个特解(而不是一个，三个特解)乘系数想加吗

Answer 1

不是这样的，蓝笔写出来的也是方程的解，但不是通解

Answer 2

①一开始是不能确定y＝C1e^x+C2u(x)e^x就是通解的，理由是现在还不知道u(x)会不会是某个常数k，一旦u(x)＝k了，C1、C2就不是彼此独立的两个任意常数了，因为此时
y＝(C1+C2 k) e^x
了。因此，此题需先确定u(x)的具体表达式。
②为了确定u(x)的具体表达式，将y＝u(x)e^x代入到原微分方程里，注意到
y'＝u'(x)e^x+u(x)e^x＝[u'(x)+u(x)] e^x，
y''＝[u''(x)+u'(x)]e^x+[u'(x)+u(x)]e^x
＝[u''(x)+2u'(x)+u(x)]e^x，有
(2x-1)[u''(x)+2u'(x)+u(x)]e^x-(2x+1)[u'(x)+u(x)]e^x+2u(x)e^x＝0，
即(2x-1)u''(x)+(2x-3)u'(x)＝0.
令u'(x)＝v，有u''(x)＝v'.代入上式即可求得v＝v(x)，进而求得u(x).
③最后，由于u(x)不是常数，则
y＝C1e^x+C2u(x)e^x
就是通解。