r³√(1-r²)的原函数是多少啊？
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∫ r^3.√(1-r^2) dr
=-(1/3)∫ r^2 d(1-r^2)^(3/2)
=-(1/3)r^2.(1-r^2)^(3/2) +(2/3)∫ r (1-r^2)^(3/2) dr
=-(1/3)r^2.(1-r^2)^(3/2) -(1/3)∫ (1-r^2)^(3/2) d(1-r^2)
=-(1/3)r^2.(1-r^2)^(3/2) -(2/15)(1-r^2)^(5/2) +C
=-(1/3)∫ r^2 d(1-r^2)^(3/2)
=-(1/3)r^2.(1-r^2)^(3/2) +(2/3)∫ r (1-r^2)^(3/2) dr
=-(1/3)r^2.(1-r^2)^(3/2) -(1/3)∫ (1-r^2)^(3/2) d(1-r^2)
=-(1/3)r^2.(1-r^2)^(3/2) -(2/15)(1-r^2)^(5/2) +C
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我们可以通过代换法来求解这个函数的原函数。
令 u = 1 - r²，那么 du/dr = -2r，从而 dr = -(1/2r)du。
将u代入原函数，得到：
∫r³√(1-r²)dr = -1/2 ∫r³√u·(1-u)du
现在我们需要对右侧的积分进行部分分式分解。根据部分分式分解公式，我们可以将右侧积分分解成如下形式：
-1/2 ∫ [A/(√u)] du + 1/2 ∫ [(B·u + C)/(√(1-u))] du
其中 A，B 和 C 是待定常数。
对第一个积分进行简单的积分计算，得到：
-1/2 ∫ [A/(√u)] du = -A√u
对第二个积分进行分部积分，令：
dv = √(1-u) du (则v = (2/3)(1-u)^(3/2))
u = 1 - v² (则du = -2v dv)
带入第二个积分式，得到：
1/2 ∫ [(B·u + C)/(√(1-u))] du = 1/2 ∫ [(B(1-v²) + C)/(√v)] (-2v) dv
= - ∫ [(Bv² - B + Cv)/(√v)] dv
= -2/3 B v^(3/2) - 2C v^(1/2)
将 u 和 v 代回原函数，
令 u = 1 - r²，那么 du/dr = -2r，从而 dr = -(1/2r)du。
将u代入原函数，得到：
∫r³√(1-r²)dr = -1/2 ∫r³√u·(1-u)du
现在我们需要对右侧的积分进行部分分式分解。根据部分分式分解公式，我们可以将右侧积分分解成如下形式：
-1/2 ∫ [A/(√u)] du + 1/2 ∫ [(B·u + C)/(√(1-u))] du
其中 A，B 和 C 是待定常数。
对第一个积分进行简单的积分计算，得到：
-1/2 ∫ [A/(√u)] du = -A√u
对第二个积分进行分部积分，令：
dv = √(1-u) du (则v = (2/3)(1-u)^(3/2))
u = 1 - v² (则du = -2v dv)
带入第二个积分式，得到：
1/2 ∫ [(B·u + C)/(√(1-u))] du = 1/2 ∫ [(B(1-v²) + C)/(√v)] (-2v) dv
= - ∫ [(Bv² - B + Cv)/(√v)] dv
= -2/3 B v^(3/2) - 2C v^(1/2)
将 u 和 v 代回原函数，
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