Question

已知过点A（0，1），且方向向量为a=（1，k）的直线l与⊙C：（x-2)^2+(y-3)^2=1，相交于M,N两点。

若O为坐标原点，是否存在实数k使得OM·ON=11？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

因为直线方向向量 为（1，k）故设直线方程 为 -kx+y+c=0
将A(0,1) 代入直线 c=-1;
l:-kx+y-1=0;
联立方程
（x-2)^2+(y-3)^2=1
-kx+y-1=0
得 (k^2+1)x^2-(4k+4)x+7=0;
方程有解 判别式=-4（3k^2-8k+3）大于0
(4-√7)/3<k<(4+√7)/3
向量OM·ON=11
即 x1*x2+y1*y2=11
x1*x2=7/(k^2+1)
x1+x2=4k+4/(k^2+1)
y1*y2=(kx1+1)*(kx2+1)=k^2*x1x2+k(x1+x2)+1
=(11k^2+4k)/(k^2+1) +1
x1x2+y1y2=11
解得 k=-2+√7 or -2-√7
(4-√7)/3<k<(4+√7)/3
所以 k=-2+√7