Question

如图，△ABC中，∠A=90，AB=AC=1，P是AB上不与 A、B重合的一个动点，PQ⊥BC于Q，QR⊥AC于R．

如图，△ABC中，∠A=90，AB=AC=1，P是AB上不与
A、B重合的一个动点，PQ⊥BC于Q，QR⊥AC于R．
(1)求证：PQ= BQ；
(2)设BP的长为x，四边形PQRA的面积为y，求y与x之间
的函数关系式及白变量x的取值范围；
(3) RP能否平行于BC?如果能，试求出BP的长，若不能，请简述理由；
(4)点P是否存在这样的位置，使四边形PQRA的面积为△ABC面积的一半？若存在，
求出BP的长；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）证明：
∵∠A=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=45°
∵PQ⊥BC
∴∠BQP=90°
∴∠BPQ=180°-∠B-∠BQP=45°
∴∠B=∠BPQ
∴PQ=BQ

过Q作QD⊥AB交AB于D，PQ=BQ,PQ⊥BC,则△PQB为等腰直角三角形，∴DB=1/2x,PQ⊥BC,∴PQ//BC,∴AR=QD=1/2x,△CRQ为 等腰直角三角形，∴RQ=CR=1-1/2x

（2）S四边形PQRA=1/2×(AP+RQ)×AR
∴ y=1/2×[(1-x)+(1-1/2x)]×(1/2x)=-3/8x²+1/2x
∵点P是AB上不与点A、B重合的一个动点
∴ 0＜x＜1

（3）能。
∵RP//BC,
∴∠RPA=∠B=45°
∴△ARP为 等腰直角三角形
∴AR=AP,
∴1/2x=1-x,
解得x=2/3,
∴BP=2/3

（4)存在。
由题意得：y=1/2×1×1
∴-3/8x²+1/2x=1/2
化简得：3x²-4x-4=0
(3x+2)(x-2)=0
解得x=2
∴BP=2

Answer 2

~1~因为AB=AC,所以∠B=45°。因为PQ垂直于BC，所以三角形BPQ为等腰直角三角形，所以PQ=BQ
~2~取值范围0＜X＜1。。。

写起来太麻烦，要不你来我家吧