数学求数列问题
(x+1)^n-x^n这个能求通项么我把(x+1)^n写成二项展开式之后不知道怎么写了,求解。...
(x+1)^n-x^n这个能求通项么
我把(x+1)^n写成二项展开式之后不知道怎么写了,求解。 展开
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我们以n=3为例:
1⁴= 1
2⁴=1⁴+4*1³+6*1²+4*1+1
3⁴=2⁴+4*2³+6*2²+4*2+1
……
n⁴=(n-1)⁴+4*(n-1)³+6*(n-1)²+4*(n-1)+1
(n+1)⁴=n⁴+4*n³+6*n²+4*n+1
可以看出,全部相加后除最后一行外等号左边都与下一行等号右边第一项抵消。得到
(n+1)⁴=4(1³+2³+3³+…+n³)+6(1²+2²+3²+…+n²)+4(1+2+3+…+n)+(1+1+1…+1)+1
我们知道:1+2+3+…+n=n(n+1)/2
1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6
令s3=1³+2³+3³+…+n³则
(n+1)⁴=4s3+6[n(n+1)(2n+1)/6]+4[n(n+1)/2]+n+1
(n+1)⁴=4s3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n+1
......
s3=[n(n+1)/2]²
1⁴= 1
2⁴=1⁴+4*1³+6*1²+4*1+1
3⁴=2⁴+4*2³+6*2²+4*2+1
……
n⁴=(n-1)⁴+4*(n-1)³+6*(n-1)²+4*(n-1)+1
(n+1)⁴=n⁴+4*n³+6*n²+4*n+1
可以看出,全部相加后除最后一行外等号左边都与下一行等号右边第一项抵消。得到
(n+1)⁴=4(1³+2³+3³+…+n³)+6(1²+2²+3²+…+n²)+4(1+2+3+…+n)+(1+1+1…+1)+1
我们知道:1+2+3+…+n=n(n+1)/2
1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6
令s3=1³+2³+3³+…+n³则
(n+1)⁴=4s3+6[n(n+1)(2n+1)/6]+4[n(n+1)/2]+n+1
(n+1)⁴=4s3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n+1
......
s3=[n(n+1)/2]²
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