Question

大学高等数学微分方程

求初值问题

Answer 1

特征方程为r²+3r+2=0，(r+1)(r+2)=0
r=-1或r=-2
故y''+3y'+2y=0的通解为
Y=C1 e^(-x)+C2 e^(-2x)
因为0不是特征根，故设原方程的特解为y*=A
代入原方程得，2A=5，A=5/2
故原方程的通解为y=Y+y*
即y=C1 e^(-x)+C2 e^(-2x)+5/2
y'=-C1 e^(-x)-2C2 e^(-2x)
由y(0)=C1+C2+5/2=1
y'(0)=-C1-2C2=2得
C1=-1，C2=-1/2
故所求特解为y=-e^(-x)-½e^(-2x)+5/2

Answer 2

求微分方程 y''+3y'+2y=5 满足初始条件y(0)=1,y'(0)=2的特解
解：齐次方程 y''+3y'+2y=0的特征方程 r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根 r₁=-1；r₂=-2；
故齐次方程的通解为：y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x);
其特解：y*=5/2；故通解 y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)+5/2，
将y(0)=1代入得：C₁+C₂+5/2=1； 故有C₁+C₂=-3/2..........①；
y'=-C₁e^(-x)-2C₂e^(-2x)，将y'(0)=2代入得：
-C₁-2C₂=2.....................②；
①+②得: -C₂=1/2，故C₂=-1/2; ∴C₁=-3/2-C₂=-3/2+1/2=-1;
故特解为：y=-(1/2)e^(-x)-e^(-2x)+5/2；

Answer 3

如图