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特征方程为r²+3r+2=0,(r+1)(r+2)=0
r=-1或r=-2
故y''+3y'+2y=0的通解为
Y=C1 e^(-x)+C2 e^(-2x)
因为0不是特征根,故设原方程的特解为y*=A
代入原方程得,2A=5,A=5/2
故原方程的通解为y=Y+y*
即y=C1 e^(-x)+C2 e^(-2x)+5/2
y'=-C1 e^(-x)-2C2 e^(-2x)
由y(0)=C1+C2+5/2=1
y'(0)=-C1-2C2=2得
C1=-1,C2=-1/2
故所求特解为y=-e^(-x)-½e^(-2x)+5/2
r=-1或r=-2
故y''+3y'+2y=0的通解为
Y=C1 e^(-x)+C2 e^(-2x)
因为0不是特征根,故设原方程的特解为y*=A
代入原方程得,2A=5,A=5/2
故原方程的通解为y=Y+y*
即y=C1 e^(-x)+C2 e^(-2x)+5/2
y'=-C1 e^(-x)-2C2 e^(-2x)
由y(0)=C1+C2+5/2=1
y'(0)=-C1-2C2=2得
C1=-1,C2=-1/2
故所求特解为y=-e^(-x)-½e^(-2x)+5/2
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求微分方程 y''+3y'+2y=5 满足初始条件y(0)=1,y'(0)=2的特解
解:齐次方程 y''+3y'+2y=0的特征方程 r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根 r₁=-1;r₂=-2;
故齐次方程的通解为:y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x);
其特解:y*=5/2;故通解 y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)+5/2,
将y(0)=1代入得:C₁+C₂+5/2=1; 故有C₁+C₂=-3/2..........①;
y'=-C₁e^(-x)-2C₂e^(-2x),将y'(0)=2代入得:
-C₁-2C₂=2.....................②;
①+②得: -C₂=1/2,故C₂=-1/2; ∴C₁=-3/2-C₂=-3/2+1/2=-1;
故特解为:y=-(1/2)e^(-x)-e^(-2x)+5/2;
解:齐次方程 y''+3y'+2y=0的特征方程 r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根 r₁=-1;r₂=-2;
故齐次方程的通解为:y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x);
其特解:y*=5/2;故通解 y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)+5/2,
将y(0)=1代入得:C₁+C₂+5/2=1; 故有C₁+C₂=-3/2..........①;
y'=-C₁e^(-x)-2C₂e^(-2x),将y'(0)=2代入得:
-C₁-2C₂=2.....................②;
①+②得: -C₂=1/2,故C₂=-1/2; ∴C₁=-3/2-C₂=-3/2+1/2=-1;
故特解为:y=-(1/2)e^(-x)-e^(-2x)+5/2;
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