一道物理问题求解(微积分怎么解决) 65
一个小球在光滑圆轨道内侧,从最低点出发,初速度为V,求小球运动周期?(小球不脱离轨道,能做完整圆周运动)...
一个小球在光滑圆轨道内侧,从最低点出发,初速度为V,求小球运动周期?(小球不脱离轨道,能做完整圆周运动)
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可参考类比单摆在平衡位置附近往复的运动作受力分析,得微分方程如下,最后求得小球运动的周期T=2π*(l/g),其中l为小球运动的半径。
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只好假设是圆轨道,不然没法分析了。给出一个思路,但微分方程我解不出来。
首先要确定速度足够大或足够小,要么大到实现完整的圆周运动(在最高点时速度不小于√(gR)),要么小到运动的最高点不高过圆心。
mv0²/2=mv0²/2+mgR(1-cosθ) θ是球偏离最低点与圆心所成的圆心角。
v=ωR=Rdθ/dt
得到(dθ/dt)²=(v0/R)²+2g(1-cosθ)/R
解微分方程得到θ与t的关系。
对于速度足够小的情况,可以根据机械能守恒,计算出球能达到的最大高度,从而知道θ的最大值。
首先要确定速度足够大或足够小,要么大到实现完整的圆周运动(在最高点时速度不小于√(gR)),要么小到运动的最高点不高过圆心。
mv0²/2=mv0²/2+mgR(1-cosθ) θ是球偏离最低点与圆心所成的圆心角。
v=ωR=Rdθ/dt
得到(dθ/dt)²=(v0/R)²+2g(1-cosθ)/R
解微分方程得到θ与t的关系。
对于速度足够小的情况,可以根据机械能守恒,计算出球能达到的最大高度,从而知道θ的最大值。
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我觉得要分两种情况。
1.当1/2mv²<mgr时,球只能在下半部分晃动。这是一个时间。
2.当上式为≥时,小球可在圆内顺利绕一周,这又是一个世界。
具体时间的计算,要用积分。
1.当1/2mv²<mgr时,球只能在下半部分晃动。这是一个时间。
2.当上式为≥时,小球可在圆内顺利绕一周,这又是一个世界。
具体时间的计算,要用积分。
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椭圆积分,只能用电脑来算,没有统一公式。
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