Question

高数定积分

变成dt²之后，（0，x）成谁的积分区域了，还原成u之后，积分范围是多少

Answer 1

如图所示

Answer 2

解答如下：
令x^2-t^2＝u，则-2tdt＝du，即tdt＝-1/2 du.当t＝0时，u＝x^2；t＝x时，u＝0.于是
∫(0,x)tf(x^2-t^2)dt＝∫(x^2,0)f(u)(-1/2 du)
＝1/2 ∫(0,x^2)f(u)du.
从而
d/dx [∫(0,x)tf(x^2-t^2)dt]
＝d/dx [1/2 ∫(0,x^2)f(u)du
＝1/2 f(x^2)*2x
＝xf(x^2).
所以，答案选(A).

Answer 3

∵f(x)连续，设F(x)是f(x)的一个原函数，
则定积分
∫tf(x²－t²)dt=-½∫f(x²－t²)d(x²－t²)
=-½[F(0)－F(x²)]
d∫tf(x²－t²)dt/dx=-½×[-2xf(x²)]
=xf(x²)