Question

证明方程1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3)=0在(1,2)和(2,3)内各有一个实根

Answer 1

证明：设f(x)=x^3-3x-1，则f'(x)=3x^2-3
∵x>1,
∴x^2>1,
∴3x^2-3>0
即f'(x)>0,
∴函数f(x)在(1,2)上单调递增
而f(1)=-1<0,
f(2)=1>0
∴f(x)至少与x轴有一个交点
海场奋渡莪盗烽醛甫互
即方程x^3-3x=1在(1,2)内至少有一个实根
望采纳！有问题请追问！

Answer 2

第一问：
3x²-12x+11=0，直接解出方程，看一下根的大小不就可以判断了。也要受x≠1，2，3的制约，否则方程无意义。
第二问：单调性只能用定义证明，证明如下：
设1＜x1＜x2＜2
则f(x1)-f(x2)
=1/(x1-1)+1/(x1-2)+1/(x1-3)-[1/(x2-1)+1/(x2-2)+1/(x2-3)]
=[3x1²-12x1+11-(3x2²-12x2+11)]/(x1-1)(x2-1)(x1-2)(x2-2)(x1-3)(x2-3)
分母显然大于0，判断分子正负即可
分子=3(x1²-x2²)-12（x1-x2）=3(x1-x2)(x1+x2-4)
因为1＜x1＜x2＜2
所以：x1-x2＜0，x1+x2-4＜0
即当1＜x1＜x2＜2时，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)

Answer 3

第一问：
3x²-12x+11=0，直接解出方程，看一下根的大小不就可以判断了。也要受x≠1，2，3的制约，否则方程无意义。
第二问：单调性只能用定义证明，证明如下：
设1＜x1＜x2＜2
则f(x1)-f(x2)
=1/(x1-1)+1/(x1-2)+1/(x1-3)-[1/(x2-1)+1/(x2-2)+1/(x2-3)]
=[3x1²-12x1+11-(3x2²-12x2+11)]/(x1-1)(x2-1)(x1-2)(x2-2)(x1-3)(x2-3)
分母显然大于0，判断分子正负即可
分子=3(x1²-x2²)-12（x1-x2）=3(x1-x2)(x1+x2-4)
因为1＜x1＜x2＜2
所以：x1-x2＜0，x1+x2-4＜0
即当1＜x1＜x2＜2时，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
所以函数f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3)在(1,2)单调递减
同理可判断在（2，3）区间上是增函数