当k为正整数时，k^5-5k^3+4k一定能被120整除，您认为正确吗？请说明理由。
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k^5-5k^3+4k
=k(k^4-5k^2+4)
=k(k^2-1)(k^2-4)
=k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2)
=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)
为5个连续自然数的乘积
5个连续自然数中，
至少有1个能被3整除
至少有1个能被5整除
至少有1个能被4整除
除了能被4整除的这个，还至少有一个能被2整除
3×5×4×2=120
所以5个连续的自然数相乘，一定能被120整除
所以k为正整数时，k^5-5k^3+4k一定能被120整除
=k(k^4-5k^2+4)
=k(k^2-1)(k^2-4)
=k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2)
=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)
为5个连续自然数的乘积
5个连续自然数中，
至少有1个能被3整除
至少有1个能被5整除
至少有1个能被4整除
除了能被4整除的这个，还至少有一个能被2整除
3×5×4×2=120
所以5个连续的自然数相乘，一定能被120整除
所以k为正整数时，k^5-5k^3+4k一定能被120整除
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2025-01-06 广告
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