Question

求锥面z=根号下x^2+y^2、圆柱面x^2+y^2=1及平面z=0所围立体体积。求解，高等数学

Answer 1

两个办法：一个是用积分,一个是用立体角
①用积分
用球面坐标,设半径r与z轴夹角为φ,r在xoy平面上投影与x轴夹角为θ
则积分区域为：0≤r≤1,0≤φ≤π/4,0≤θ≤2π
两曲面所围成立体体积为
v=∫dv=∫∫∫dxdydz=∫∫∫r²sinφdrdφdθ
=∫r²dr*∫sinφdφ*∫dθ
=1/3*[-cosφ]*2π
=2π/3*(1-√2/2)
②用立体角
圆锥z=√(x²+y²)顶角为π/2
半球z=√[1-(x²+y²)]为单位球,半径为1
顶角为2θ的圆锥的立体角为一个单位球的球冠,即ω=2π(1-cosθ)
∴上述圆锥的立体角为ω=2π[1-cos(π/4)]=2π(1-√2/2)
半球立体角为2π,体积为2πr³/3=2π/3
圆锥立体角为2π(1-√2/2),体积为v
锥体体积与对应立体角成正比,则有
v/(2π/3)=[2π(1-√2/2)]/(2π)
解得
v=2π/3*(1-√2/2)