Question

求解一个四阶行列式

Answer 1

解：
a
b
c
d
令D4=
-b
a
-d
c
，
-c
d
a
-b
-d
-c
b
a
则其转置行列式
a
-b
-c
-d
b
a
d
-c
D4′=
c
-d
a
b
，
d
c
-b
a
由行列式性质D4=D4′,即D4²=D4D4′
a
b
c
d
a
-b
-c
-d
=
-b
a
-d
c
b
a
d
-c
-c
d
a
-b
c
-d
a
b
-d
-c
b
a
d
c
-b
a
=
a²+b²+c²+d²
-ab+ab-cd+cd
-ac+bd+ac-bd
-ad-bc+bc+ad
-ab+ab-cd+cd
a²+b²+c²+d²
bc+ad-ad-bc
bd-ac-bd+ac
-ac+bd+ac-bd
bc+ad-ad-bc
a²+b²+c²+d²
cd-cd+ab-ab
-ad-bc+bc+ad
bd-ac-bd+ac
cd-cdba-ab
a²+b²+c²+d²
令A=a²+b²+c²+d²，则上式可简化为
A
0
0
0
0
A
0
0
0
0
A
0
0
0
0
A
则D4=±（a²+b²+c²+d²)²，由因为D4中a的四次方的系数为1，故
D4=（a²+b²+c²+d²)²
（注：上面的是四阶行列式或两个矩阵相乘，符号┃…┃省略）

Answer 2

化为上三角形式
1
-2
0
4
2
-5
1
-3
4
1
-2
6
-3
2
7
1
对上面行列式，第一行乘以-2加到第二行。
1
-2
0
4
0
-1
1
-11
4
1
-2
6
-3
2
7
1
对上面行列式，第一行乘以-4加到第三行。
1
-2
0
4
0
-1
1
-11
0
9
-2
-10
-3
2
7
1
对上面行列式，第一行乘以3加到第四行。
1
-2
0
4
0
-1
1
-11
0
9
-2
-10
0
-4
7
13
对上面行列式，第二行乘以9加到第三行
1
-2
0
4
0
-1
1
-11
0
0
7
-109
0
-4
7
13
对上面行列式，第二行乘以-4加到第四行
1
-2
0
4
0
-1
1
-11
0
0
7
-109
0
0
3
57
对上面行列式，第三行乘以-3/7加到第四行
1
-2
0
4
0
-1
1
-11
0
0
7
-109
0
0
0
726/7
所以行列式为：
1*（-1）*7*726/7=-726

Answer 3

解：
1
1
2
3
1
2-x²
2
3
2
3
1
5
2
3
1
9-x²
r2-r1，
r4
-
r3
得：
1
1
2
3
0
1-x²
0
0
2
3
1
5
0
0
0
4-x²
r3-2r1得：
1
1
2
3
0
1-x²
0
0
0
1
-3
-1
0
0
0
4-x²
r2<--->r3
得：
1
1
2
3
0
1
-3
-1
0
1-x²
0
0
0
0
0
4-x²
r3-(1-x²)r2得：
1
1
2
3
0
1
-3
-1
0
0
3(1-x²)
1-x²
0
0
0
4-x²
所以行列式的值D4=3(1-x²)(4-x²)