Question

为什么二重积分的被积函数为常数时，代表的是积分区域的面积？

Answer 1

你质疑得很对，分析得也很有道理。
整体来说：
“二重积分的被积函数为常数时，代表的是积分区域的面积”
这句话是不对的！是不懂科学的数学老师才会信口而出的，
真正的科学教师，绝不会说出这么糊里糊涂、无厘头的话。
下面，我概括说一下：
1、因为是常数，既然是常数，就可以提取到积分符号外面；
2、一旦提取到积分符号外，那积分符号下的dxdy就是一个微元面积，
整个区域的积分就是总面积。
3、由于积分符号外有一个常数，当初积分符号下的常数，可能是没有单位的
单纯的数学常数，这个常数乘以dxdy，其意义就是面积的倍数；
4、如果这个常数是物理学、化学、天文学、地质学、、、等等的科学常数，
那积出后的面积再乘以常数，就不再是面积，而可能是有各种不同的含义：
例如1：体积。此时的常数就是物体的高度。这一点，楼主已经做出合理判断。
例如2：质量。此时的常数就是质量面密度；
例如3：电量。此时的常数就是电荷面密度；
例如4：能量。此时的常数就是能量面密度；
例如5：通量。此时的常数就是通量密度，如电场强度、磁感应强度、引力强度等等。
类似的例子举不胜举，如果你的老师说是面积，那只能说明他没有科学底子，不懂科学。
没有必要跟他们斤斤计较，这样的糊里糊涂的数学教师汗牛充栋，你我回天无力。
至于
z
=
f(x,
y)
=
Constant
常数，那更好理解：
1、假如x、y不是真正的坐标，而是抽象的变量，那
z
=
Constant
可能是：
等温过程、等压过程、等容过程、、、、
2、假如x、y是真正的坐标，也容易理解，这个
z
=
Constant。
在数学上，这就是一个identity，就是一个恒等式。
例如
sin²x
+
cos²x
=
1，这个恒等式跟x的取值无关；
又如
arcsin(x+y)
+
arccos(x+y)
=
½π，这个恒等式跟x、y的取值无关可能是指：
在物理上，这就是一个conservation，是一个守恒定律。
例如：我们不考虑势能时，我们有动能定理。
同样我们不考虑动能时，我们也可以全用势能表示，当然是在保守系中才行。
如有不明白，还有追问。

Answer 2

首先纠正下说法，二重积分的被积函数为常数（1）时，仅仅是积分数值与积分区域面积值一样，但对应的实际量纲单位是有区别的。具体说明如下：
1、被积函数既然是常数，数据自然不受积分区域影响，可将数值放到积分号外面；
2、数值提到积分符号外之后，对于dxdy这样一个面积微元，积分运算下，结果就是整个区域的总面积；
3、积分号外的常数，可能是单纯的数学常数无单位量纲，这个常数乘以dxdy，其数值就是面积的倍数，这里仅仅是数值的一致；
4、若被积常数对应为具体的物理学、化学、天文学、地质学等的相关场景，结果就不是面积常数那么简单了。
不解之处请多追问