Question

设函数y=fx是定义域在R的函数,且fx>0,对于任意的实数x,y,都有f(x+y)=f(x)f(y)，当x＞0时，fx＞1

Answer 1

1)
f憨功封嘉莩黄凤萎脯联(x+y)=f(x)f(y)，令x=1,y=0
有f(1)
=
f(0)f(1)
f(1)
(1-f(0))
=
0
而当x＞0时，f(x)＞1
所以f(1)不等于0
,所以f(0)必为1
2)
f(x+y)=f(x)f(y)，可得f(x1-x2)
f(x2)
=
f(x1)
即f(x1-x2)
=
f(x1)/f(x2)
若x1>x2
,因为当x＞0时，f(x)＞1
,有f(x1-x2)>1
即f(x1)/f(x2)>1
f(x1)>f(x2)
所以f(x)严格递增
3)
f（x）f（x+1）
=
f(2x+1)
4
=
2*2
=
f(1)*f(1)
=
f(2)
所以f（x）f（x+1）＜4即f(2x+1)
根据单调性质,即2x+1<2
x<1/2

Answer 2

(1)
f(1)=f(0)f(1)
f(0)=1
(2)
对大于零的任意实数a，有
f(x+a)-f(x)
=
f(x)f(a)-f(x)
=
f(x)(f(a)-1)
>0
所以f(x)在定义域R上单调递增
(3)
f(x)f(x+1)
=
f(2x+1)
=
f(2x)f(1)，又f(1)=2，原不等式成为
2f(2x)
<
4
f(2x)
<
2
对增函数f(x)，且知道f(1)=2，所以
2x
<
1
x
<
1/2

Answer 3

1，f（0）=f（0+0）=f（0）*f（0）
解方程，得f（0）=0或1又因为f（0）>0，所以f（0）=1
2.1=f(x-x)=f(x)*f(-x),f(-x)=1/f(x)，设x1>x2>0，
f（x1）/f（x2）=f（x1）*f（-x2）=f（x1-x2）>1所以为增函数。
(3)f（x）f（x+1）＜4，即
f（x+x+1）
2x+1<2
x<1/2

Answer 4

1、以x=y=0代入，得：f(0＋0)=f(0)f(0)=[f(0)]²，即f(0)=0【舍去】或f(0)=1，则f(0)=1；
2、取x1>x2，则f(x2)－f(x1)=f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)=【f(x2－x1)f(x1)】－f(x1)=f(x1)[f(x2－x1)－1]，由于x2－x1>0，则f(x2－x1)>1，即f(x2－x1)－1>0，从而有f(x2)－f(x1)>0，即单点递增；
3、f(1)=2，则f(2)=f(1)f(1)=4，所以f(x)f(x＋1)=f(2x＋1)
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Answer 5

解:1.令x=0
得f(0)=f(0)f(0)
f(0)
=0
2.
f（x)在R上的单调递增.
证明:
在R内任取x1
,x2
且
x1<
x2
x2-x1>0
f(x2-x1)>1
憨功封嘉莩黄凤萎脯联
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)
f(x1)>f(x1)
故f（x)在R上的单调递增
3.
f（1）=2
f(x+y)=f(x)f(y)，令x=y=1
f(2)=f(1)f(1)=4
不等式f（x）f（x+1）＜4
可化为
f[x(x+1)
]
x(x+1)<2
解得-2
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