Question

变限积分求导法!例题

求 d/dx∫下限为0，上限为x （x-t）f'(t)dt
解：原式=d/dx(x∫下限为0，上限为x)f'(t)dt-∫下限为0，上限为x ,tf'(t)dt)
=∫下限为0,上限为x f'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)
这步是算的，怎么加个又减个，那个怎么来的，原理是什么？
=∫下限为0,上限为x,f'(t)dt
=f(x)-f(0)
f'这个表示f撇，求导上有，学过的人应该知道！
详细的说下每步怎么算不了，依据什么？讲清楚！

Answer 1

d/dx ∫(0→x) (x-t)f'(t) dt
= d/dx ∫(0→x) [xf'(t) - tf'(t)]
= d/dx {∫(0→x) xf'(t) dt - ∫(0→x) tf'(t) dt}
= d/dx x∫(0→x) f'(t) dt - d/dx ∫(0→x) tf'(t) dt

第一积分的值很好算，有：
∫(0→x) f'(t) dt = f(x) - f(0)
而假设第二个积分中，被积函数的原函数是g(t)，即：
g'(t) = t f'(t)
则：
∫(0→x) tf'(t) dt = g(x) - g(0)

所以原式为：
d/dx [xf(x) - xf(0)] - d/dx [g(x)-g(0)]
对x微分，不含x的部分作常数处理，得：
xf'(x) + f(x) - f(0) - g'(x)
又由函数g的定义，得到：
= xf'(x) + f(x) - f(0) - x f'(x)
= f(x) - f(0)

其实你给的过程也就是大致按照这种方法，只不过它很早就做了微分，而且比较抽象，所以看起来晕罢了。我则是先整理了式子，然后才做的微分，你可以看到，我的做法跟答案一样，也是约掉了xf'(x)的，所以本质上是一样的。而也许我这样做你会比较好理解。
另外我引入到了函数g(t)，但是不必怀疑它是否连续可导，因为有函数tf'(t)存在。至于规范过程的话，还是按照你的过程，写个很抽象的东西就好了，不必引入新东西，然后再去讨论他连续可导。

还不明白的话欢迎补充提问。^_^

Answer 2

利用公式d(xv)/dx=v+xdv/dx，可求下式：
d/dx(x∫下限为0，上限为x)f'(t)dt）
=∫下限为0,上限为x f'(t)dt+xf'(x)
下式的微分是：
d/dx（∫下限为0，上限为x ,tf'(t)dt)=xf'(x)
两个微分放在一起，即得：
d/dx(x∫下限为0，上限为x)f'(t)dt-d/dx（∫下限为0，上限为x ,tf'(t)dt)
=∫下限为0,上限为x f'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)=∫下限为0,上限为x,f'(t)dt
=f(x)-f(0)