Question

均值不等式为什么可以计算最大最小值

Answer 1

⑴：3x=1-x时x=1/4；
得x(3-3x)=9/16
⑵：先提取3，得3x(1-x)，x=1-x时，x=1/2；
得3x(1-x)=3/4≠9/16
从理论来说两种方法应该都对，为何会出现两种解？
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第一种方法是错的
使用均值不等式xy≤[(x+y)/2]²求最大值，需要满足“一正二定三相等”
一正：x,y都要是正数
二定：x+y是定值
三相等：x与y在取值范围内可以相等
但观察第一种方法，令3x=1-x，这是错误的，因为3x与(1-x)的和并不是定值，3x+(1-x)=1+2x，这就不符合使用均值不等式求最值的条件，因为求出的结果也不对。
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第二种方法是正确的
x(3-3x)，所以对式子提取3，是为了创造x与(1-x)的和是定值这个条件
变成3x(1-x)后，因为x+(1-x)=1=定值
所以3x(1-x)≤3[(x+1-x)/2]²=3/4
并且当x=1-x，x=1/2，这在x的范围内是可以取到的，所以不等式的等号也可以取到
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另外，如果使用不等式x+y≥2√(xy)求最小值，也要注意满足“一正二定三相等”，其中定值指的是x与y的乘积是个常数，这样才可使用，否则就会出现你问题中的错误情况。

Answer 2

均值定理：
　　已知x，y∈R+，x+y=S，x·y＝P
　　(1)如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；
　　(2)如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。
　　或
　　当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab
(定值）当且仅当a=b时取等号
。
　　（3）设X1，X2，X3，……，Xn为大于0的数。
　　则X1+X2+X3+……+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn
　　（一定要熟练掌握）
　　当a、b、c∈R+，
a
+
b
+
c
=
k（定值）时，
a+b+c≥3*(3)√(abc)
　　即abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27
(定值）
当且仅当a=b=c时取等号。
　　例题：1。求x+y-1的最小值。
　　分析：此题运用了均值定理。∵x+y≥2√xy。
∴x+y-1≥2√xy
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