Question

求齐次线性方程组{x1+x2+x3=0 x1+x2-x3=0 x3+x4+x5=0}的基础解系及通解

Answer 1

写出系数矩阵

11100

11-100

00111r2-r1

11100

00-200

00111r2/（-2），r1-r2，r3-r2

R（A）=3，而方程有5个未知数，所以有5-3=2个解向量

得到基础解系为（1，-1，0，0，0）^T，（0，0，0，1，-1）^T

故通解为a*（1，-1，0，0，0）^T+b*（0，0，0，1，-1）^T，ab为常数

证明：

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

以上内容参考：百度百科-齐次线性方程组

Answer 2

写出系数矩阵
1
1
1
0
0
1
1
-1
0
0
0
0
1
1
1
r2-r1
～
1
1
1
0
0
0
0
-2
0
0
0
0
1
1
1
r2/(-2)，r1-r2，r3-r2
～
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
R(A)=3，而方程有5个未知数，
所以有5-3=2个解向量
得到基础解系为
(1,-1,0,0,0)^T，(0,0,0,1,-1)^T
故通解为
a
*(1,-1,0,0,0)^T+b
*(0,0,0,1,-1)^T，ab为常数

Answer 3

写出
系数矩阵
1
1
1
0
0
1
1
-1
0
0
0
0
1
1
1
r2-r1
～
1
1
1
0
0
0
0
-2
0
0
0
0
1
1
1
r2/(-2)，r1-r2，r3-r2
～
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
R(A)=3，而方程有5个未知数，
所以有5-3=2个解向量
得到
基础解系
为
(1,-1,0,0,0)^T，(0,0,0,1,-1)^T
故通解为
a
*(1,-1,0,0,0)^T+b
*(0,0,0,1,-1)^T，ab为常数

Answer 4

[1
1
0
0
1
1
1
-1
0
0
0
0
1
1
1]化为[1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0]，显然x1,x2是一组，x1,x5也是

Answer 5