Question

计算∫e^(-x^2)dx，积分区间0→＋∞？？？

Answer 1

试着用二重积极坐标算∫<0+∞>e^(-x^2)dx
通计算二重积:∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy.
D表示由原点,半径a圆周所围闭区域.
面计算二重积:
解:极坐标系,闭区域D表示:0≤r≤a,0≤θ≤2π
∴∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫<D>e^(-r^2)*rdrdθ
=∫<0,2π>[∫<0,a>e^(-r^2)*rdr]dθ
=-(1/2)e^(-a^2)∫<0,2π>dθ
=π(1-e^(-a^2))
面计算∫<0+∞>e^(-x^2)dx
;
设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}.
D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}.
S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.
画D1,D2,S图.
显D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)>0,些闭区域二重积间等式:
∫∫<D1>e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫<S>e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫<D2>e^(-x^2-y^2)dxdy.
∵∫∫<S>e^(-x^2-y^2)dxdy=∫<0,R>e^(-x^2)dx*=∫<0,R>e^(-y^2)dy
=(∫<0,R>e^(-x^2)dx)^2.
应用面结:∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy=π(1-e^(-a^2))
∴∫∫<D1>e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-R^2)).
∴∫∫<D2>e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-2R^2)).
于面等式写:
(π/4)(1-e^(-R^2))<(∫<0,R>e^(-x^2)dx)^2<(π/4)(1-e^(-2R^2)).
令R→+∞,式两端趋于同极限π/4,
∫<0+∞>e^(-x^2)dx
=sqrt(π)/2.
其:sqrt(π)表示根号π.(别处复制)