Question

线性代数(AB)*=B*A*吗？？

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

这个公式是成立的，左边(AB)*乘以(AB)等于|AB|E,右边B*A*乘以AB等于|A||B|E=|AB|E,左边等于右边，这里用到一个性质，A*乘以A=|A|E
此外，矩阵又上肩上的符号，T,-1,*,他们的性质是类似的

Answer 3

设A*=(Aji)nn,B*=(Bji)nn,C=AB,(AB)*=(Cji)nn,B*A*=(dij)nn,dij=Σ(k=1,n)AjkBki
Cji=C(1,2…j-1,j+1…n;1,2…i-1,i+1…n)*(-1)^(i+j)=①Σ(k=1,n)A(1,2…j-1,j+1…n;1,2…k-1,k+1…n)B(1,2…k-1,k+1…n;1,2…i-1,i+1…n)*(-1)^(i+j)=Σ(k=1,n)AjkBki=dij,故B*A*=(AB)*
注:其中X(x1,x2…;y1,y2…)为取X矩阵x1,x2…行，y1,y2…列组成的子行列式
①用的是binet-cauchy公式

Answer 4

线性代数中通常只涉及到a,b都可逆的情形。这时证明比较简单。而当a,b不可逆时
要用到多项式恒等的理论，通过构造可逆矩阵来证明，这通常是数学专业学习高等代数时要证明的。
证明：
（1）a,b都可逆时
(ab)*=|ab|(ab)^-1=|a||b|b^-1a^-1=b*a*.
（2）若a,b不可逆,
令
a(x)=a+xe,
b(x)=b+xe当x充分大时,
a(x),b(x)都可逆
故
(a(x)b(x))*=b(x)*a(x)*.
上式两端矩阵中的元素都是关于x的多项式
所以对应元素是相等的多项式
即对任意的x成立
特别取
x=0
即得
(ab)*=b*a*.