Question

帮忙解一道高一数学题

P为△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于H
求证
（1）H是△ABC的垂心（注意：是垂心，不是重心）
（2）△ABC为锐角三角形

Answer 1

连接AH并延长交BC于D，由于AP⊥平面PBC，所以BC⊥AP；PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC；所以BC⊥平面PAD，得到BC⊥AH。
同理可得BH⊥AC，CH⊥AB
所以H是△ABC的垂心
若△ABC为锐角三角形 ，则由余弦定理可知任意一边的平方大于另两边的平方和。设AP=a，BP=b，CP=c，由于三个侧面都是直角三角形，很快就得到结果了。