Question

【数学】有关平方和的最值不等式

现在有这样一组数a(i)满足
a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)=S，
是常数 a数组的值随便取值只要大于0就好
n不止2，3，可以取很大。

现在想求平方和
a(1)^2+a(2)^2+a(3)^2+...+a(n)^2的最小值，该怎么算呢？

想了想应该是a(i)=S/n时候，平方和最小，但如何证明呢？

谢谢了！！

Answer 1

可以用方均根平均数大于等于算数平均数这个不等式：
√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]>=(a1+a2+...+an)/n

参考百科词条【均值不等式】：http://baike.baidu.com/view/441784.htm?fr=ala0_1_1

用这个不等式，我们有：√[[a(1)^2+a(2)^2+a(3)^2+...+a(n)^2]/n]>=[a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)]/n=S/n
上式整理得a(1)^2+a(2)^2+a(3)^2+...+a(n)^2>=S^2/n

由均值不等式等号成立条件为a(1)=a(2)=a(3)=...=a(n),所以显然是a(i)=S/n时最小。