Question

设0<X1<2,Xn+1=根号项2+Xn(n=1,2...),证明数列Xn有极限，并求出该极限

Answer 1

先证明xn有界
猜想:0＜xn＜2
证明(数学归纳法抄)
当n＝1,0＜x1＜2满足
假设:当n＝k(k≥1)，也有0＜xk＜2成立
那么当n＝k+1(k≥1)，所以知0＜Xk+1＝√2+XK＜√（道2+2）＝2，所以当n＝k+1，结论也成立
所以0＜xn＜2
再证明单调性:Xn+1-Xn＝√（2+Xn）-Xn＝(2+Xn-Xn^2)/[√（2+Xn）+Xn]＝(2-Xn)(1+Xn)/[√(2+Xn)+Xn]＞0，所以Xn+1＞Xn
说明单调递增
又因为有界，所以数列Xn极限一定存在
设极限为a(a＞0)，所以a＝lim(n→∞)Xn+1＝lim(n→∞)√(2+Xn)＝√(2+a)，所以a^2＝a+2，所以a＝2(a=-1舍去)
极限为2

Answer 2

极限为0.5*（1+根号5）.证明：设f（x）=1+(xn-1/（1+xn-1）),对f（x）求导,得导数为正,f（x）单调递增,又f（x）=1+(xn-1/（1+xn-1）)小于2,有上界.利用单调有界定理知其极限存在.对xn=1+(xn-1/（1+xn-1）)俩边取极限,设xn的极限为a（n趋向无穷大）可得a=1+a/（1+a)
解这个方程,结果取正就可以了.