Question

数列{an}满足a1=1,a(n+1)=(n^2+n-b)*an,(n=1,2,…),b为常数。数列{an}是否可能为等差数列，若是写出通...

数列{an}满足a1=1,a(n+1)=(n^2+n-b)*an,(n=1,2,…),b为常数。数列{an}是否可能为等差数列，若是写出通项公式。

Answer 1

a2=(2-b)a1=2-b,a3=(6-b)(2-b),2a2=a1+a3,2(2-b)=1+(6-b)(2-b),b^2-6b+9=0,b=3,a1=1,a2=-1,a3=-3,而a4=(3^2+3-3)a3=-27,不成等差.
或假设{an}是等差数列，则an=An+B,左边至多1次≠右边至少2次，除非an=0,与a1=1矛盾

Answer 2

假设a(n)可为等差数列。a(n+1)-a(n)=(n^2+n-b-1)*an=d(d为公差）
a(n)=a(1)+(n-1)d整理有
d=(n^2+n-b-1)/(-n^3+bn+2n-b)
分数线上n的最高次项为n^2,分数线下n的最高次项为n^3,无法消元。故a(n)不可能为等差数列。

Answer 3

a2=(2-b)a1=2-b,a3=(6-b)(2-b),2a2=a1+a3,2(2-b)=1+(6-b)(2-b),b^2-6b+9=0,b=3,a1=1,a2=-1,a3=-3,而a4=(3^2+3-3)a3=-27,不成等差.