Question

设f（x）是定义在区间【-a，a】上存在各阶导数的偶函数，证明f（x）在x=0处的奇数阶导数都等于0

Answer 1

先证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数：
f(x)偶时
f'(-x)
=
lim(f(-x+h)-f(-x))/h
[h→0]
=
lim(f(x-h)-f(x))/h
[h→0]
=
-lim(f(x)-f(x-h))/h
[h→0]
=-
f'(x)
f(x)奇时
f'(-x)
=
lim(f(-x+h)-f(-x))/h
[h→0]
=
lim(-f(x-h)+f(x))/h
[h→0]
=
lim(f(x)-f(x-h))/h
[h→0]
=f'(x)
以上已经证明了任意奇函数导数是偶函数，任意偶函数导数是奇函数。
所以f(x)偶则其奇数阶导数都是奇函数，从而在x=0处都等于0

Answer 2

因f(x)在闭区间[a,b]上二阶可导，则原函数在[a,b]连续可导
根据积分中值定理
1/(b-a)∫(b,a)f(x)dx为积分在(a,b)的平均值
且函数在闭区间[a,b]连续。
我证不下去，因为这题根本就没写完