Question

对于任意大于1的自然数n证明

Answer 1

用数学归纳法证明如下:
(i)当n=2时,左边=1+1/3=4/3,右边=√5/2,左边>右边成立
(ii)假设当n=k(k≥1)时，命题成立，即
（1+1/3)(1+1/5)....[1+1/(2k-1)]>(√2k+1)/2
那么，当n=k+1时，（1+1/3)(1+1/5)....[1+1/(2k+1)]>(√2k+1)/2×[1+1/(2k+1)]=(√2k+1)/2×(2k+2)/(2k+1)
要证明(√2k+1)/2×(2k+2)/(2k+1)>(√2k+3)/2,只要证明(√2k+1)×(2k+2)/(2k+1)>(√2k+3),即证(2k+2)>(√2k+1)×(√2k+3),由不等式ab≤(a^2+b^2)/2(当且仅当a=b时取等号)得:(√2k+1)×(√2k+3)<(2k+1+2k+3)/2=2k+2(2k+1≠2k+3,故等号取不到),所以(2k+2)>(√2k+1)×(√2k+3)成立,这就是说当n=k+1时命题也成立.
综上所述,原命题成立