Question

求函数y=(x+1)/(x平方+5x+6) (x>-1)的最大值

如题。

Answer 1

f(x)=(ax+b)/(cx^2+dx+e)型有时可利用均值不等式求最值
注意凑项技巧
y=(x+1)/(x^2+5x+6)=（x+1)/[(x+1)(x+4)+2]=1/[x+4+2/(x+1)]=1/[x+1+2/(x+1)+3]
这样就凑出了均值不等式的形式，x>-1，所以x+1>0,x+1+2/(x+1)+3≥2√（x+1）*[2/(x+1)]+3=2√2+3，y=1/[x+1+2/(x+1)+3]≤1/（2√2+3）=3-2√2
函数的最大值就是3-2√2
我再以这个题为例说说凑项方法
分子一次型:x+1，分母二次型x^2+5x+6，我们的目标是把x^2+5x+6拆成(x+1)*一次式+常数的形式，这个一次式的确定很关键，把它记为px+q,常数为c,有(x+1)*(px+q)+c=x^2+5x+6,由二次项系数为1很容易观察出p=1，一次项系数5=p+q,则q=4,这样显然c=2,接着把分子除下来，用不等式就水到渠成了