Question

设函数f（x）=4x^3+ax+2,曲线y=f(x)在点P(0,2)处切线斜率-12 （1）、求a的值

Answer 1

因为函数过（1,0），带进去得1
+
a
=
0，所以a
=
-1
对
f
进行求导得f'(x)
=
1
+
2ax
+
b/x，因为在p点切线斜率为2
所以f'(1)
=
2，所以有1
+
2a
+
b
=
2，解得b
=
3
所以f（x）=x
-
x²
+
3lnx
令g（x）=
（2x
-
2）-
f（x）=
x²
+
x
-
3lnx
-
2
显然定义域为（0，正无穷）（lnx后面的x要非负）
求导得g'（x）=
2x
+
1
-
3/x
令g'（x）=
0，所以2x
+
1
-
3/x
=
0，同乘以x，2x²
+
x
-
3
=
0
（2x
+
3）（x
-
1）=
0，x
=
1
可以判断，g在0到1之间导数为负数，所以递减
g在1到正无穷之间导数为正数，所以递增，所以g在0到正无穷上最小值在1上取到
所以g（1）=
2
+
1
-
3
=
0
故g
≥
0
所以f（x）≤
2x
-
2在定义域上恒成立

Answer 2

f'(x)=12x^2+a
曲线y=f(x)在点P(0,2)处切线斜率-12
所以有：
f'(0)=a=-12
即：a=-12
(2）函数f(x)在区间[-3,2]最大值和最小值
f'(x)=12x^2-12,
当x=1,或x=-1时f(x)=0
f''(x)=24x
当x=1,时，f''(1)=24>0
所以有最小值，f(1)=-6
当x=-1时，f''(-1)=-24<0所以有最大值，f(-1)=10